贝祖定理

编辑:送人网互动百科 时间:2020-05-29 19:16:28
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若设a,b是整数,则存在整数x,y,使得ax+by=(a,b)。
中文名
贝祖定理
外文名
 Bezouts identity
提出者
贝祖
应用学科
初等数论
适用领域范围
数学

目录

贝祖定理定义

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定义整数a,b的一个线性组合是指形如
的整数,其中x,y是整数。那么贝祖定理是说对整数a,b(如果我们定义
时,
),
是a,b的一个线性组合(其中
是a,b的最大公因数,简记为
)。

贝祖定理证明

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,则
.结论显然.
不妨设
.考虑由
所有的线性组合组成的集合
分别取
.由于正实数集对所有实数有三分法成立,故
中必定有一个为正(已令
).设
,则
.
最小数原理知,
中有最小正整数,不妨设为
.
因为
,所以
的一个线性组合:
,
带余除法可知:
使得
其中
.假设
,则:
这与
的最小元矛盾.故
,即
的因子.类似地,可证
的因子.故
的公因子.
的任意一个公因子,则设
.因为
,所以
整除
,所以
.故
.

贝祖定理应用

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1.若a |bc,且(a,b)=1,则a |c
2.若a |c,b |c,且(a,b)=1,则ab |c
3.设m为正整数,则(ma,mb)=m(a,b),[ma,mb]=m[a,b]
4.设a,b都为正整数,则(a,b)·[a,b]=ab[1] 
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参考资料
词条标签:
理学